次の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle 3-\sqrt{5}+\frac{m}{3-\sqrt{5}}=n$をみたす整数$m$と$n$の値を求めよ．
(2) $\displaystyle F(x)=\sum_{k=1}^{12} \{ \log (e^{2k}x^2+e^{-2k})-\log (e^{-2k}x^2+e^{2k}) \}$とおくとき，$\displaystyle \alpha=\lim_{x \to \infty} F(x)$と$\displaystyle \beta=\lim_{x \to 0} F(x)$の値を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(3) $2$つの関数$f(x)$と$g(x)$が$f(0)=-6$，$g(0)=2$，$g(x)>0$，$g^\prime(x)=f^\prime(x)+4x+3$，$\displaystyle f^\prime(x)=\frac{f(x)g^\prime(x)}{g(x)}-2xg(x)$をみたすとき，$\displaystyle g(x)=\frac{ax}{x^2+4}+b$となる定数$a$と$b$を求めよ．ただし，$f^\prime(x)$と$g^\prime(x)$はそれぞれ$f(x)$と$g(x)$の導関数である．