九州歯科大学
2010年 歯学部 第3問
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$\displaystyle I_n=\int_0^c \sin^n x \cos^5 x \, dx$，$\displaystyle J_n=\int_0^c \sin^n x \cos x \, dx$，$K_n=J_n-J_{n+2}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数であり，$c$は正の定数である．
(1) $I_n$を$K_n$と$K_{n+2}$を用いて表せ．
(2) $\displaystyle A_n=\sum_{m=1}^n I_m$を$K_1,\ K_2,\ K_{n+1},\ K_{n+2}$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle c=\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle K_n=\frac{2}{(n+a_1)(n+a_2)}$となる定数$a_1$と$a_2$を求めよ．ただし，$a_1<a_2$とする．
(4) $\displaystyle c=\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \alpha(A_n+\beta)n^2=1$となる定数$\alpha$と$\beta$を求めよ．
(1) $I_n$を$K_n$と$K_{n+2}$を用いて表せ．
(2) $\displaystyle A_n=\sum_{m=1}^n I_m$を$K_1,\ K_2,\ K_{n+1},\ K_{n+2}$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle c=\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle K_n=\frac{2}{(n+a_1)(n+a_2)}$となる定数$a_1$と$a_2$を求めよ．ただし，$a_1<a_2$とする．
(4) $\displaystyle c=\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \alpha(A_n+\beta)n^2=1$となる定数$\alpha$と$\beta$を求めよ．
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