次の問いに答えよ．
(1) 原点$\mathrm{O}$を中心とし，${150}^\circ$だけ回転すると，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$(7,\ \sqrt{3})$に移った．$x$と$y$の値を求めよ．
(2) $x \geqq 0$と自然数$n$に対して，$2$つの曲線$y=\sqrt{x}$と$y=x^n \sqrt{x}$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．一方，曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$7S_1=24S_2$をみたす$n$の値を求めよ．
(3) さいころを$3$回続けて投げたとき，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数のいずれよりも大きくなる確率$P$を求めよ．また，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数の積となる確率$Q$を求めよ．
(4) $\cos \theta=\sin^2 \theta$のとき，$\alpha=(1+\cos \theta)\cos \theta$と$\beta=\sin^8 \theta+2 \sin^6 \theta+3 \sin^4 \theta+2 \sin^2 \theta$の値を求めよ．