九州歯科大学
2011年 歯学部 第3問
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初項を$a_1=16$とする数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2n^2-6n+20$で与えられるとき，次の問いに答えよ．
(1) $n \geqq 2$に対して，$a_n$を$n$を用いて表せ．
(2) 数列$\{b_n\}$を$b_1=a_1$，$b_2=a_2+a_3$，$b_3=a_4+a_5+a_6$，$b_4=a_7+a_8+a_9+a_{10}$，$\cdots$と定義する．このとき，$b_n=a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots +a_{k+n}$をみたす$k$を$n$を用いて表せ．
(3) 数列$\{b_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和を$T_n$とするとき，極限値$\displaystyle A=\lim_{n \to \infty}\frac{T_n}{n^4}$と極限値$\displaystyle B=\lim_{n \to \infty}\frac{T_n-An^4}{n^3}$の値を求めよ．
(4) $\displaystyle C=\sum_{n=1}^{24}(T_n-An^4-Bn^3)$の値を求めよ．ただし，$A$と$B$は(3)で求めた極限値である．
(1) $n \geqq 2$に対して，$a_n$を$n$を用いて表せ．
(2) 数列$\{b_n\}$を$b_1=a_1$，$b_2=a_2+a_3$，$b_3=a_4+a_5+a_6$，$b_4=a_7+a_8+a_9+a_{10}$，$\cdots$と定義する．このとき，$b_n=a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots +a_{k+n}$をみたす$k$を$n$を用いて表せ．
(3) 数列$\{b_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和を$T_n$とするとき，極限値$\displaystyle A=\lim_{n \to \infty}\frac{T_n}{n^4}$と極限値$\displaystyle B=\lim_{n \to \infty}\frac{T_n-An^4}{n^3}$の値を求めよ．
(4) $\displaystyle C=\sum_{n=1}^{24}(T_n-An^4-Bn^3)$の値を求めよ．ただし，$A$と$B$は(3)で求めた極限値である．
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