東京大学
2010年 理系 第3問
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$2$つの箱LとR,ボール$30$個,コイン投げで表と裏が等確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るコイン1枚を用意する.$x$を$0$以上$30$以下の整数とする.Lに$x$個,Rに$30-x$個のボールを入れ,次の操作$(\sharp)$を繰り返す.
[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする.コインを投げ,表が出れば箱Rから箱Lに,裏が出れば箱Lから箱Rに,$K(z)$個のボールを移す.ただし,$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$,$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする.
$m$回の操作の後,箱Lのボールの個数が$30$である確率を$P_m(x)$とする.たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる.以下の問(1),(2),(3)に答えよ.
(1) $m \geqq 2$のとき,$x$に対してうまく$y$を選び,$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ.
(2) $n$を自然数とするとき,$P_{2n}(10)$を求めよ.
(3) $n$を自然数とするとき,$P_{4n}(6)$を求めよ.
[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする.コインを投げ,表が出れば箱Rから箱Lに,裏が出れば箱Lから箱Rに,$K(z)$個のボールを移す.ただし,$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$,$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする.
$m$回の操作の後,箱Lのボールの個数が$30$である確率を$P_m(x)$とする.たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる.以下の問(1),(2),(3)に答えよ.
(1) $m \geqq 2$のとき,$x$に対してうまく$y$を選び,$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ.
(2) $n$を自然数とするとき,$P_{2n}(10)$を求めよ.
(3) $n$を自然数とするとき,$P_{4n}(6)$を求めよ.
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