静岡大学
2016年 理(物・化)・工・情報 第3問
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次の各問に答えよ.
(1) 関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ \ (x>0)$の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.ただし,$\log$は自然対数を表す.また,等式$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい.
(2) $a$を正の実数とする.このとき,$a^x=x^a$を満たす正の実数$x$の個数を調べよ.
(3) 定積分$\displaystyle \int_1^{\sqrt{e}} \frac{\log x}{x} \, dx$を求めよ.ただし,$e$は自然対数の底である.
(1) 関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ \ (x>0)$の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.ただし,$\log$は自然対数を表す.また,等式$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい.
(2) $a$を正の実数とする.このとき,$a^x=x^a$を満たす正の実数$x$の個数を調べよ.
(3) 定積分$\displaystyle \int_1^{\sqrt{e}} \frac{\log x}{x} \, dx$を求めよ.ただし,$e$は自然対数の底である.
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