高知大学
2014年 理学部・医学部 第4問
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$k$は$1$以上の整数であるとする.連続した整数が書かれた$2^k-1$枚のカードが$1$組あり,その中に無作為に選ばれた当たりが一枚だけ含まれているとする.次のようなルールで当たりのカードにたどりつくことを考える.
(ⅰ) カードのうち,ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく.それが当たりなら終了する.
(ⅱ) ハズレならば,真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける.
(ⅲ) 当たりのカードの含まれた組を教えてもらい,その組に対して,$\tokeiichi$に戻って繰り返す.
このルールのもとで,ひいたカードの枚数の期待値を$E_k$とおく.このとき,次の問いに答えなさい.
(1) $E_1,\ E_2,\ E_3,\ E_4$を求めよ.
(2) $E_{k+1}$を$E_k$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle d_k=E_k-\frac{1}{{2}^{k}}(E_k+1)$とおくとき,$d_k$のみたす漸化式を求めよ.
(4) $E_k$を求めよ.
(5) $\displaystyle \lim_{k \to \infty}(E_k-k)$を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{k}{{2}^{k}}=0$であることを用いてもよい.
(ⅰ) カードのうち,ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく.それが当たりなら終了する.
(ⅱ) ハズレならば,真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける.
(ⅲ) 当たりのカードの含まれた組を教えてもらい,その組に対して,$\tokeiichi$に戻って繰り返す.
このルールのもとで,ひいたカードの枚数の期待値を$E_k$とおく.このとき,次の問いに答えなさい.
(1) $E_1,\ E_2,\ E_3,\ E_4$を求めよ.
(2) $E_{k+1}$を$E_k$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle d_k=E_k-\frac{1}{{2}^{k}}(E_k+1)$とおくとき,$d_k$のみたす漸化式を求めよ.
(4) $E_k$を求めよ.
(5) $\displaystyle \lim_{k \to \infty}(E_k-k)$を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{k}{{2}^{k}}=0$であることを用いてもよい.
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