滋賀医科大学
2012年 医学部 第1問
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$xyz$空間内の$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{p}=(x,\ y,\ z)$を考え,$\displaystyle \overrightarrow{p^\prime}=\frac{\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{p}|}$とおく.
(1) $\overrightarrow{p^\prime}$の大きさを求めよ.
(2) $\overrightarrow{p}$と$x$軸,$y$軸,$z$軸の正の向きとのなす角をそれぞれ$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とおくとき,$\overrightarrow{p^\prime}=(\cos \alpha,\ \cos \beta,\ \cos \gamma)$を示せ.
(3) $\overrightarrow{p}=(3,\ 4,\ 12)$とする.頂点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ a_3)$,$\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ b_3)$の$\triangle \mathrm{OAB}$について,$\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$,$\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2,\ b_3)$はともに$\overrightarrow{p}$に垂直とする.$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とおくとき,$xy$平面上の点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}^\prime(a_1,\ a_2,\ 0)$,$\mathrm{B}^\prime(b_1,\ b_2,\ 0)$が作る$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の面積を$S$を用いて表せ.
(1) $\overrightarrow{p^\prime}$の大きさを求めよ.
(2) $\overrightarrow{p}$と$x$軸,$y$軸,$z$軸の正の向きとのなす角をそれぞれ$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とおくとき,$\overrightarrow{p^\prime}=(\cos \alpha,\ \cos \beta,\ \cos \gamma)$を示せ.
(3) $\overrightarrow{p}=(3,\ 4,\ 12)$とする.頂点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ a_3)$,$\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ b_3)$の$\triangle \mathrm{OAB}$について,$\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$,$\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2,\ b_3)$はともに$\overrightarrow{p}$に垂直とする.$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とおくとき,$xy$平面上の点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}^\prime(a_1,\ a_2,\ 0)$,$\mathrm{B}^\prime(b_1,\ b_2,\ 0)$が作る$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の面積を$S$を用いて表せ.
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