福井大学
2013年 工学部 第2問
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![OA=OB=OC=1かつAB=BC=CAをみたす四面体OABCがある.その体積をV,AB=mとおき,ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcと表すとき,以下の問いに答えよ.(1)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルb・ベクトルc,ベクトルc・ベクトルaをmを用いて表せ.(2)△ABCの重心をGとおくとき,内積ベクトルOG・ベクトルAG,ベクトルOG・ベクトルBG,ベクトルOG・ベクトルCGの値を求めよ.(3)Vをmを用いて表せ.(4)Vが最大となるmの値を求めよ.](./thumb/366/2547/2013_2.png)
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$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$かつ$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$をみたす四面体$\mathrm{OABC}$がある.その体積を$V$,$\mathrm{AB}=m$とおき,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$と表すとき,以下の問いに答えよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を$m$を用いて表せ.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とおくとき,内積$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CG}}$の値を求めよ.
(3) $V$を$m$を用いて表せ.
(4) $V$が最大となる$m$の値を求めよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を$m$を用いて表せ.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とおくとき,内積$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BG}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CG}}$の値を求めよ.
(3) $V$を$m$を用いて表せ.
(4) $V$が最大となる$m$の値を求めよ.
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