九州工業大学
2014年 工学部 第4問
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関数$\displaystyle f(x)=-\tan x \ \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$，$\displaystyle g(x)=\sin 2x \ \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$について，次に答えよ．
(1) 不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$，$\displaystyle \int \tan^2 x \, dx$を求めよ．
(2) $b>0$とする．曲線$y=g(x)$および$3$直線$y=-b$，$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を直線$y=-b$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_1$を$b$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$のとき，不等式$f(x)+g(x) \geqq 0$を示せ．
(4) $2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$および直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を直線$\displaystyle y=-\frac{1}{\sqrt{3}}$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_2$を求めよ．
(1) 不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$，$\displaystyle \int \tan^2 x \, dx$を求めよ．
(2) $b>0$とする．曲線$y=g(x)$および$3$直線$y=-b$，$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を直線$y=-b$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_1$を$b$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$のとき，不等式$f(x)+g(x) \geqq 0$を示せ．
(4) $2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$および直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を直線$\displaystyle y=-\frac{1}{\sqrt{3}}$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_2$を求めよ．
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