座標平面において，行列$A=\left( \begin{array}{cc} \displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{2}{3} \\ \displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{2}{3} \end{array} \right)$が表す移動（$1$次変換）を$f$とし，直線$x+2y=1$を$\ell$とする．次に答えよ．
(1) 点$\mathrm{P}(p_1,\ p_2)$が$f$によって移る点を$\mathrm{Q}(q_1,\ q_2)$とする．$\mathrm{P}$が$\ell$上の点のとき，$\mathrm{Q}$は$\ell$上にあることを示せ．
(2) $\ell$上の点$\mathrm{R}$は$f$によって$\mathrm{R}$自身に移る．
(ⅰ) $\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(ⅱ) $\mathrm{R}$と異なる$\ell$上の点$\mathrm{P}$が$f$によって点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{RQ}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{RP}}|}$を求めよ．
(3) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を \[ a_1=1,\quad b_1=0,\quad \left( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c} a_{n} \\ b_{n} \end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] により定める．$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．さらに$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．