九州工業大学
2013年 工学部 第4問
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曲線$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \ (x \geqq 0)$と曲線$C_2:x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$がある．曲線$C_1$の点$\mathrm{P}(\sqrt{s},\ \sqrt{t}) \ (s>0,\ t>0)$における法線を$\ell$とする．次に答えよ．
(1) $s$を$t$を用いて表せ．また，直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2) 直線$\ell$が曲線$C_2$に接するときの点$\mathrm{P}$の座標および接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3) $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は(2)で求めた点とし，点$(0,\ 1)$を$\mathrm{R}$とする．曲線$C_1$，弧$\mathrm{RQ}$および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1) $s$を$t$を用いて表せ．また，直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2) 直線$\ell$が曲線$C_2$に接するときの点$\mathrm{P}$の座標および接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3) $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は(2)で求めた点とし，点$(0,\ 1)$を$\mathrm{R}$とする．曲線$C_1$，弧$\mathrm{RQ}$および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
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