九州工業大学
2013年 工学部 第3問
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関数$f(x)=\log x$がある．曲線$y=f(x)$の点$(t,\ \log t)$における接線の方程式を$y=g(x)$とするとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．
(1) $x>0$のとき，不等式$f(x)-g(x) \leqq 0$を証明せよ．
(2) $\displaystyle t>\frac{1}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}f(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}g(x) \, dx$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3) 自然数$n$に対して，$n!$と$\displaystyle \sqrt{2} \left( n+\frac{1}{2} \right)^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}$の大小を比較せよ．
(1) $x>0$のとき，不等式$f(x)-g(x) \leqq 0$を証明せよ．
(2) $\displaystyle t>\frac{1}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}f(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}g(x) \, dx$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3) 自然数$n$に対して，$n!$と$\displaystyle \sqrt{2} \left( n+\frac{1}{2} \right)^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}$の大小を比較せよ．
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