$a,\ b$を実数とし，行列$A$を$2$次の正方行列とする．$x,\ y$についての連立$1$次方程式を，行列を用いて \[ A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \hfill \cdots\cdots (\ast) \] と表す．次に答えよ．
(1) $A=\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 6 & 4 \end{array} \right)$のとき，連立$1$次方程式$(\ast)$を解け．
(2) $c$を実数とし，$a \neq 0,\ b \neq 0$とする．また，$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & 1 \end{array} \right)$とする．
(ⅰ) $a \neq bc$とする．連立$1$次方程式$(\ast)$がただ$1$つの解をもつことを示せ．また，連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$もただ$1$つの解をもつことを示せ．
(ⅱ) 連立$1$次方程式$(\ast)$が解をもたないための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．この条件が成り立つとき，連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$も解をもたないことを示せ．
(ⅲ) 連立$1$次方程式$(\ast)$が解を無数にもつための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．この条件が成り立つとき，自然数$m$に対して，連立$1$次方程式 \[ (A+A^2+A^3+\cdots +A^{2m-1}) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \] も解を無数にもつことを示せ．