頂点が$\mathrm{O}$で，各辺の長さが$1$である正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{CO}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とし，辺$\mathrm{OD}$を$k:1-k \ (0<k<1)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．次に答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2) 内積$\overrightarrow{\mathrm{BR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$k,\ t$を用いて表せ．
(3) 点$\mathrm{R}$が$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{Q}$の定める平面上にあるとする．
(ⅰ) $k$を$t$を用いて表せ．
(ⅱ) $t$の値が変化するとき，$k$の最大値を求めよ．また，$k$が最大値をとるときの四角形$\mathrm{PBQR}$の面積$S$を求めよ．