九州工業大学
2011年 工学部 第2問
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実数$\theta$に対して，行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とする．また，$n$を自然数とし，$A$の$n$乗を$A^n$で表す．次に答えよ．
(1) 数学的帰納法により，すべての自然数$n$に対して \[ A^n=\left( \begin{array}{cc} \cos n\theta & -\sin n\theta \\ \sin n\theta & \cos n\theta \end{array} \right) \] が成立することを示せ．
(2) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}$とする．ある自然数$n$に対しては，行列$A^n$によって曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{2x}$上の点が常に曲線$x^2-y^2=-1$上の点に移される．このような自然数$n$の最小値を求めよ．
(1) 数学的帰納法により，すべての自然数$n$に対して \[ A^n=\left( \begin{array}{cc} \cos n\theta & -\sin n\theta \\ \sin n\theta & \cos n\theta \end{array} \right) \] が成立することを示せ．
(2) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}$とする．ある自然数$n$に対しては，行列$A^n$によって曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{2x}$上の点が常に曲線$x^2-y^2=-1$上の点に移される．このような自然数$n$の最小値を求めよ．
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