九州工業大学
2016年 情報工学部 第1問
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座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ \ (x>0)$と点$\mathrm{P}(s,\ t) \ \ (s>0,\ t>0,\ st<1)$を考える.また,$u=st$とする.点$\mathrm{P}$を通る曲線$C$の$2$本の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とし,これらの接線と曲線$C$との接点をそれぞれ$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{1}{a} \right)$,$\displaystyle \mathrm{B} \left( b,\ \frac{1}{b} \right)$とする.ただし,$a<b$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $a,\ b$を$s,\ t$を用いて表せ.
(2) $2$点$\mathrm{E}(a,\ 0)$,$\mathrm{F}(b,\ 0)$を考える.台形$\mathrm{ABFE}$の面積を$u$を用いて表せ.
(3) $\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$u$を用いて表せ.
(4) $(3)$で求めた$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S(u)$とする.$S(u)$は区間$0<u<1$で減少することを示せ.
(5) 点$\mathrm{P}$が$2$点$(3,\ 0)$,$(0,\ 1)$を結ぶ線分上の端点以外にあるものとする.このとき,$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.また,そのときの面積を求めよ.
(1) $a,\ b$を$s,\ t$を用いて表せ.
(2) $2$点$\mathrm{E}(a,\ 0)$,$\mathrm{F}(b,\ 0)$を考える.台形$\mathrm{ABFE}$の面積を$u$を用いて表せ.
(3) $\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$u$を用いて表せ.
(4) $(3)$で求めた$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S(u)$とする.$S(u)$は区間$0<u<1$で減少することを示せ.
(5) 点$\mathrm{P}$が$2$点$(3,\ 0)$,$(0,\ 1)$を結ぶ線分上の端点以外にあるものとする.このとき,$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.また,そのときの面積を求めよ.
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