山梨大学
2015年 工学部・生命環境(生命工) 第5問
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点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において,点$\mathrm{P}(-6,\ 0)$をとる.また,曲線
\[ x=3 \cos \theta,\quad y=3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
を$C_1$とする.曲線$C_2,\ C_3,\ \cdots,\ C_n,\ \cdots$を次のように順次定義する.
「点$\mathrm{Q}$が曲線$C_n$上を動くとき,線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{R}$のなす曲線を$C_{n+1}$とする.」
また, 各自然数$n$に対して,点$\mathrm{P}$を通る$x$軸と異なる直線が曲線$C_n$と接するとき,その接点を$\mathrm{A}_n$とする.次に,$\theta$を$1$つ固定し,点$\mathrm{X}_1(x_1,\ y_1)$を$x_1=3 \cos \theta$,$y_1=3 \sin \theta$となる曲線$C_1$上の点とし,点$\mathrm{X}_2,\ \mathrm{X}_3,\ \cdots,\ \mathrm{X}_n,\ \cdots$を次のように順次定義する.
「線分$\mathrm{PX}_n$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{X}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$とする.」
(1) $x_2$および$y_2$を$\theta$を用いて表せ.
(2) $\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{PO}$および$\angle \mathrm{A}_2 \mathrm{PO}$を求めよ.
(3) $x_n,\ y_n$を$\theta$を用いて表せ.
(4) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ.
(5) 直線$\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}$,曲線$C_n$および$C_{n+1}$で囲まれた領域の面積を$a_n$とするとき,極限値$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ.
「点$\mathrm{Q}$が曲線$C_n$上を動くとき,線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{R}$のなす曲線を$C_{n+1}$とする.」
また, 各自然数$n$に対して,点$\mathrm{P}$を通る$x$軸と異なる直線が曲線$C_n$と接するとき,その接点を$\mathrm{A}_n$とする.次に,$\theta$を$1$つ固定し,点$\mathrm{X}_1(x_1,\ y_1)$を$x_1=3 \cos \theta$,$y_1=3 \sin \theta$となる曲線$C_1$上の点とし,点$\mathrm{X}_2,\ \mathrm{X}_3,\ \cdots,\ \mathrm{X}_n,\ \cdots$を次のように順次定義する.
「線分$\mathrm{PX}_n$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{X}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$とする.」
(1) $x_2$および$y_2$を$\theta$を用いて表せ.
(2) $\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{PO}$および$\angle \mathrm{A}_2 \mathrm{PO}$を求めよ.
(3) $x_n,\ y_n$を$\theta$を用いて表せ.
(4) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ.
(5) 直線$\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}$,曲線$C_n$および$C_{n+1}$で囲まれた領域の面積を$a_n$とするとき,極限値$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ.
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