筑波大学
2015年 理系 第3問
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$p$と$q$は正の整数とする.$2$次方程式$x^2-2px-q=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする.ただし$\alpha>\beta$とする.数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{1}{2}(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.ただし$\alpha^0=1$,$\beta^0=1$と定める.
(1) すべての自然数$n$に対して,$a_{n+2}=2pa_{n+1}+qa_n$であることを示せ.
(2) すべての自然数$n$に対して,$a_n$は整数であることを示せ.
(3) 自然数$n$に対し,$\displaystyle \frac{\alpha^{n-1}}{2}$以下の最大の整数を$b_n$とする.$p$と$q$が$q<2p+1$を満たすとき,$b_n$を$a_n$を用いて表せ.
(1) すべての自然数$n$に対して,$a_{n+2}=2pa_{n+1}+qa_n$であることを示せ.
(2) すべての自然数$n$に対して,$a_n$は整数であることを示せ.
(3) 自然数$n$に対し,$\displaystyle \frac{\alpha^{n-1}}{2}$以下の最大の整数を$b_n$とする.$p$と$q$が$q<2p+1$を満たすとき,$b_n$を$a_n$を用いて表せ.
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