$xyz$空間において，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$を通る平面上にあり，正三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円板を$D$とする．円板$D$の中心を$\mathrm{P}$，円板$D$と辺$\mathrm{AB}$の接点を$\mathrm{Q}$とする．
(1) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2) 円板$D$が平面$z=t$と共有点をもつ$t$の範囲を求めよ．
(3) 円板$D$と平面$z=t$の共通部分が線分であるとき，その線分の長さを$t$を用いて表せ．
(4) 円板$D$を$z$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ． \imgc{86_1824_2013_2}