東京都市大学
2013年 工（機シ・医工・化学）・知識工 第3問
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$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$について，辺$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$x:1-x$に内分する点を$\mathrm{R}$とおく．ただし，$0<x<1$とする．次の問に答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$x$を用いて表せ．
(3) $\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき，$x$の値を求めよ．
(4) $\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$x$を用いて表せ．
(3) $\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき，$x$の値を求めよ．
(4) $\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
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