千葉大学
2012年 教育学部(算数・技術) 第6問
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1より小さい正の実数$a$に対して
\[ \text{円}C(a): (x+a-1)^2+(y+a-1)^2=2a^2 \]
と定める.その上で,数列$\{a_n\}$を以下の方法によって定める.
[(i)] $n=1$のときは,円$C(a)$が$x$軸と接するような定数$a$の値を$a_1$とする.さらに,円$C(a_1)$と$x$軸との接点をP$_1$とし,円$C(a_1)$の中心をQ$_1$とおく. [(ii)] $n \geqq 2$のときは,円$C(a)$が直線P$_{n-1}$Q$_{n-1}$と接するような定数$a$の値を$a_n$とする.さらに,円$C(a_n)$と直線P$_{n-1}$Q$_{n-1}$との接点をP$_n$とし,円$C(a_n)$の中心をQ$_n$とおく.
このとき,以下の問いに答えよ.
(1) $a_1$を求めよ.
(2) $a_2$を求めよ.
(3) $\{a_n\}$の一般項を求めよ.
[(i)] $n=1$のときは,円$C(a)$が$x$軸と接するような定数$a$の値を$a_1$とする.さらに,円$C(a_1)$と$x$軸との接点をP$_1$とし,円$C(a_1)$の中心をQ$_1$とおく. [(ii)] $n \geqq 2$のときは,円$C(a)$が直線P$_{n-1}$Q$_{n-1}$と接するような定数$a$の値を$a_n$とする.さらに,円$C(a_n)$と直線P$_{n-1}$Q$_{n-1}$との接点をP$_n$とし,円$C(a_n)$の中心をQ$_n$とおく.
このとき,以下の問いに答えよ.
(1) $a_1$を求めよ.
(2) $a_2$を求めよ.
(3) $\{a_n\}$の一般項を求めよ.
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