首都大学東京
2013年 理系 第3問
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原点を$\mathrm{O}$とする座標平面で，関数$y=\sqrt{x^2-1} \ \ (x \geqq 1)$のグラフを$C$とする．また，$t>1$を満たす実数$t$に対し，直線$x+y=t$と$C$との交点を$\mathrm{P}$，直線$x+y=t$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．
(1) 線分$\mathrm{PQ}$の長さ$f(t)$を求めなさい．
(2) 次の極限値を求めなさい． \[ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n f \left( 1+\frac{k(t-1)}{n} \right) \frac{t-1}{\sqrt{2}n} \]
(3) 線分$\mathrm{OP}$，$x$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$S$を用いて点$\mathrm{P}$の座標を表しなさい．
(1) 線分$\mathrm{PQ}$の長さ$f(t)$を求めなさい．
(2) 次の極限値を求めなさい． \[ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n f \left( 1+\frac{k(t-1)}{n} \right) \frac{t-1}{\sqrt{2}n} \]
(3) 線分$\mathrm{OP}$，$x$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$S$を用いて点$\mathrm{P}$の座標を表しなさい．
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コメント（1件）
2016-02-07 16:36:18
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