福井大学
2013年 医学部 第3問
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次の問いに答えよ.
(1) $m,\ n$を自然数とするとき,次の不定積分を計算せよ. \[ \int \cos mx \cos nx \, dx \]
(2) $\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\ 0)$,$\mathrm{Q}(0,\ \sin t)$をとる.ここで$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$とする.直線$\mathrm{PQ}$に関して$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{R}$とするとき,以下の問いに答えよ.ただし,直線$\mathrm{PQ}$が原点$\mathrm{O}$を通るときは$\mathrm{R}$を$\mathrm{O}$と定める.
(ⅰ) $\mathrm{R}$の座標を求めよ.
(ⅱ) $t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くときに$\mathrm{R}$の描く曲線と,直線$y=x$により囲まれる図形の面積を求めよ.
(1) $m,\ n$を自然数とするとき,次の不定積分を計算せよ. \[ \int \cos mx \cos nx \, dx \]
(2) $\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\ 0)$,$\mathrm{Q}(0,\ \sin t)$をとる.ここで$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$とする.直線$\mathrm{PQ}$に関して$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{R}$とするとき,以下の問いに答えよ.ただし,直線$\mathrm{PQ}$が原点$\mathrm{O}$を通るときは$\mathrm{R}$を$\mathrm{O}$と定める.
(ⅰ) $\mathrm{R}$の座標を求めよ.
(ⅱ) $t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くときに$\mathrm{R}$の描く曲線と,直線$y=x$により囲まれる図形の面積を求めよ.
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