山口大学
2014年 文系 第3問
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次の問いに答えなさい.
(1) $2$つの整数$a,\ b$が$1+\sqrt{2}=a+b \sqrt{2}$を満たすならば,$a=b=1$であることを示しなさい.ただし,$\sqrt{2}$が無理数であることは示さなくてよい.
(2) $k$を自然数とする.$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^{k+1}=a+b \sqrt{2}$を満たしているとき,$(1+\sqrt{2})^k=a^\prime+b^\prime \sqrt{2}$を満たす整数$a^\prime,\ b^\prime$を$a,\ b$を用いて表しなさい.
(3) すべての自然数$n$に対して,
命題「$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^n=a+b \sqrt{2}$を満たしているならば,$(1-\sqrt{2})^n=a-b \sqrt{2}$である」
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい.
(1) $2$つの整数$a,\ b$が$1+\sqrt{2}=a+b \sqrt{2}$を満たすならば,$a=b=1$であることを示しなさい.ただし,$\sqrt{2}$が無理数であることは示さなくてよい.
(2) $k$を自然数とする.$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^{k+1}=a+b \sqrt{2}$を満たしているとき,$(1+\sqrt{2})^k=a^\prime+b^\prime \sqrt{2}$を満たす整数$a^\prime,\ b^\prime$を$a,\ b$を用いて表しなさい.
(3) すべての自然数$n$に対して,
命題「$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^n=a+b \sqrt{2}$を満たしているならば,$(1-\sqrt{2})^n=a-b \sqrt{2}$である」
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい.
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