$3$つの箱$X,\ Y,\ Z$と$3$つの玉$a,\ b,\ c$があり，$1$つの箱には$1$つの玉が入るとする．箱$X$には$a$が，箱$Y$には$b$が，箱$Z$には$c$が入っている状態から始めて，次の操作を繰り返し行う．
「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ．$m=1$ならば，箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す．$m=2$ならば，箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す．$m=3$ならば，箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す．$m=4$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す．$m=5$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す．」
この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする．箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す．たとえば，最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ，$p_1$，$p_2$を求めよ．
(2) $n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする．$n \geqq 1$のとき，$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ．
(3) $p_n$を求めよ．