埼玉大学
2012年 理学部 第3問
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$xy$平面上に曲線$C:y=x^2-x$と直線$\ell:y=x$がある．
(1) $\ell$上の点$\mathrm{P} \displaystyle \left( \frac{t}{\sqrt{2}},\ \frac{t}{\sqrt{2}}\right)\ \ (0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2})$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．$m$と$C$の共有点のうち，$x$座標が$0$以上のものを$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2) $0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2}$のとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値とそのときの$t$を求めよ．
(3) $C$と$\ell$で囲まれた部分を$\ell$を軸として$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1) $\ell$上の点$\mathrm{P} \displaystyle \left( \frac{t}{\sqrt{2}},\ \frac{t}{\sqrt{2}}\right)\ \ (0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2})$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．$m$と$C$の共有点のうち，$x$座標が$0$以上のものを$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2) $0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2}$のとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値とそのときの$t$を求めよ．
(3) $C$と$\ell$で囲まれた部分を$\ell$を軸として$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
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