九州大学
2016年 文系 第3問
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袋の中に,赤玉が$15$個,青玉が$10$個,白玉が$5$個入っている.袋の中から玉を$1$個取り出し,取り出した玉の色に応じて,以下の操作で座標平面に置いたコインを動かすことを考える.
\setlength{\leftskip}{8mm} [(操作)] コインが点$(x,\ y)$にあるものとする.赤玉を取り出したときにはコインを点$(x+1,\ y)$に移動,青玉を取り出したときには点$(x,\ y+1)$に移動,白玉を取り出したときには点$(x-1,\ y-1)$に移動し,取り出した球は袋に戻す.
最初に原点$(0,\ 0)$にコインを置き,この操作を繰り返して行う.指定した回数だけ操作を繰り返した後,コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 操作を$n$回繰り返したとき,白玉を$1$度だけ取り出したとする.このとき,到達点となり得る点をすべて求めよ.
(2) 操作を$n$回繰り返したとき,到達点となり得る点の個数を求めよ.
(3) 座標平面上の$4$点$(1,\ 1)$,$(-1,\ 1)$,$(-1,\ -1)$,$(1,\ -1)$を頂点とする正方形$D$を考える.操作を$n$回繰り返したとき,到達点が$D$の内部または辺上にある確率を$P_n$とする.$P_3$を求めよ.
(4) 自然数$N$に対して$P_{3N}$を求めよ.
\setlength{\leftskip}{8mm} [(操作)] コインが点$(x,\ y)$にあるものとする.赤玉を取り出したときにはコインを点$(x+1,\ y)$に移動,青玉を取り出したときには点$(x,\ y+1)$に移動,白玉を取り出したときには点$(x-1,\ y-1)$に移動し,取り出した球は袋に戻す.
最初に原点$(0,\ 0)$にコインを置き,この操作を繰り返して行う.指定した回数だけ操作を繰り返した後,コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 操作を$n$回繰り返したとき,白玉を$1$度だけ取り出したとする.このとき,到達点となり得る点をすべて求めよ.
(2) 操作を$n$回繰り返したとき,到達点となり得る点の個数を求めよ.
(3) 座標平面上の$4$点$(1,\ 1)$,$(-1,\ 1)$,$(-1,\ -1)$,$(1,\ -1)$を頂点とする正方形$D$を考える.操作を$n$回繰り返したとき,到達点が$D$の内部または辺上にある確率を$P_n$とする.$P_3$を求めよ.
(4) 自然数$N$に対して$P_{3N}$を求めよ.
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