帯広畜産大学
2016年 畜産学部 第2問
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関数$f(x)=x^2-4x+5$を用いて,放物線$C:y=f(x)$が定義されている.放物線$C$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とし,原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と$x$軸上の点$\mathrm{Q}(t,\ 0)$を考える.ただし,$t>0$とする.次の各問に答えなさい.
(1) 線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{PQ}$の長さの和を$t$の関数として$L(t)$で表す.
(ⅰ) $L(t)$を$t$の式で表しなさい.
(ⅱ) $L(t)$が最小値をとるとき,$t$と$L(t)$の値をそれぞれ求めなさい.
(2) 放物線$C$の頂点を$\mathrm{A}$とする.
(ⅰ) 点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい.
(ⅱ) 直線$\mathrm{OP}$が点$\mathrm{A}$を通るとき,直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を求めなさい.
(ⅲ) 直線$\mathrm{OP}$が放物線$C$の接線となるとき,$t$の値と直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めなさい.
(3) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$t$の関数として$S_1(t)$で表す.また,直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$t$の関数として$S_2(t)$で表す.ただし,$0<t \leqq 2$とする.
(ⅰ) $S_1(t)$を$t$の式で表しなさい.また,関数$S_1(t)$の導関数$S_1^\prime(t)$を求めなさい.
(ⅱ) $S_1(t)$の極大点と極小点をそれぞれ求めなさい.
(ⅲ) $S_2(t)$の最大値を求めなさい.
(1) 線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{PQ}$の長さの和を$t$の関数として$L(t)$で表す.
(ⅰ) $L(t)$を$t$の式で表しなさい.
(ⅱ) $L(t)$が最小値をとるとき,$t$と$L(t)$の値をそれぞれ求めなさい.
(2) 放物線$C$の頂点を$\mathrm{A}$とする.
(ⅰ) 点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい.
(ⅱ) 直線$\mathrm{OP}$が点$\mathrm{A}$を通るとき,直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を求めなさい.
(ⅲ) 直線$\mathrm{OP}$が放物線$C$の接線となるとき,$t$の値と直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めなさい.
(3) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$t$の関数として$S_1(t)$で表す.また,直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$t$の関数として$S_2(t)$で表す.ただし,$0<t \leqq 2$とする.
(ⅰ) $S_1(t)$を$t$の式で表しなさい.また,関数$S_1(t)$の導関数$S_1^\prime(t)$を求めなさい.
(ⅱ) $S_1(t)$の極大点と極小点をそれぞれ求めなさい.
(ⅲ) $S_2(t)$の最大値を求めなさい.
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