新潟大学
2010年 文系 第3問
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次の条件(ア)~(ウ)を満たす数列$\{p_n\}$について考える.
[(ア)] $p_1 \leqq p_2 \leqq \cdots \leqq p_n \leqq \cdots$である. [(イ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$はどれも自然数である. [(ウ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$の中にはすべての自然数$k$が現れ,その個数は$k$以上$k+2$以下である.
条件(ア)~(ウ)を満たし,すべての自然数$k$がちょうど$k$個現れる数列 \[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \uebrace{k,\ k,\ \cdots,\ k}^{k個},\ \cdots \] を$\{a_n\}$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 項数5の数列で,数列$\{p_n\}$の初めの5項となり得るものをすべて挙げよ.
(2) 数列$\{a_n\}$の第210項$a_{210}$の値を求めよ.
(3) $\displaystyle \sum_{i=1}^{50}p_i$のとり得る最小の値を求めよ.
[(ア)] $p_1 \leqq p_2 \leqq \cdots \leqq p_n \leqq \cdots$である. [(イ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$はどれも自然数である. [(ウ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$の中にはすべての自然数$k$が現れ,その個数は$k$以上$k+2$以下である.
条件(ア)~(ウ)を満たし,すべての自然数$k$がちょうど$k$個現れる数列 \[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \uebrace{k,\ k,\ \cdots,\ k}^{k個},\ \cdots \] を$\{a_n\}$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 項数5の数列で,数列$\{p_n\}$の初めの5項となり得るものをすべて挙げよ.
(2) 数列$\{a_n\}$の第210項$a_{210}$の値を求めよ.
(3) $\displaystyle \sum_{i=1}^{50}p_i$のとり得る最小の値を求めよ.
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