硬貨投げをしたとき，表，裏がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で出る硬貨がある．この硬貨を用いて硬貨投げを$n$回繰り返す．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対し，$k$回目の硬貨投げの結果に応じて$a_k$を次で定める： \[ a_k=\left\{ \begin{array}{rl} 1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が表のとき} \\ -1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が裏のとき} \end{array} \right. \] また，この$a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を用いて$n$次式$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^n a_kx^k$で定める．
(1) $n$が偶数のとき，$f(x)$が$x-1$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2) $n$が$4$の倍数のとき，$f(x)$が$(x-1)(x+1)$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(3) $n$が$2$以上の自然数のとき，$f(2)=2$となる確率を$n$を用いて表せ．