大阪教育大学
2011年 理系 第4問
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次のようなゲームを考える.成功の確率が$p \ (0<p<1)$,失敗の確率が$q \ (=1-p)$であるような試行をAとBの2人が行い,先に成功した方を勝ちとする.なお,Aが勝つ確率がBが勝つ確率より大きいとき,ゲームはAに有利であるといい,Aが勝つ確率とBが勝つ確率が等しいとき,ゲームは公平であるという.このとき,次の問に答えよ.
(1) Aから始めて,以後交互に試行を行う.すなわち,ABABAB$\cdots$という順で試行を行う.このとき,$p$の値にかかわらずゲームはAに有利であることを示せ.
(2) Aから始めるが,Aが1回に対して,Bは2回試行を行えるとする.すなわち,ABBABB$\cdots$という順で試行を行う.$p$がどのような値のとき,ゲームは公平になるか.
(3) (2)において,ゲームが公平であるとき,$q$についての等式$q=q^2+q^4+q^6+\cdots$が成り立つことを示せ.
(1) Aから始めて,以後交互に試行を行う.すなわち,ABABAB$\cdots$という順で試行を行う.このとき,$p$の値にかかわらずゲームはAに有利であることを示せ.
(2) Aから始めるが,Aが1回に対して,Bは2回試行を行えるとする.すなわち,ABBABB$\cdots$という順で試行を行う.$p$がどのような値のとき,ゲームは公平になるか.
(3) (2)において,ゲームが公平であるとき,$q$についての等式$q=q^2+q^4+q^6+\cdots$が成り立つことを示せ.
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