平面上で点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に引いた垂線と$\ell$との交点を，点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に下ろした垂線の足という．
(1) 点$\mathrm{P}(p,\ q)$から直線$ax+by+c=0$に下ろした垂線の足の座標を求めよ．
(2) $3$点$\mathrm{A}(5,\ 0)$，$\mathrm{B}(4,\ 3)$，$\mathrm{C}(3,\ 4)$を考える．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_1$，$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell_2$，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell_3$とする．点$\mathrm{P}(p,\ q)$から$\ell_1$，$\ell_2$，$\ell_3$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{H}_1$，$\mathrm{H}_2$，$\mathrm{H}_3$とする．$3$点$\mathrm{H}_1$，$\mathrm{H}_2$，$\mathrm{H}_3$が一直線上にあるような点$\mathrm{P}(p,\ q)$の軌跡を求めよ．