公立はこだて未来大学
2011年 理系 第7問
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![数列{a_n}の一般項をa_n=∫_0^{nπ}e^{-x}sinxdx(n=1,2,3,・・・)で定めるとき,以下の問いに答えよ.(1)sinx=(-cosx)´を用いた部分積分法により,a_n=A_n-∫_0^{nπ}e^{-x}cosxdx(n=1,2,3,・・・)となるときのA_nを求めよ.(2)(1)で求めたA_nについて,a_n=\frac{A_n}{2}が成り立つことを示せ.(3)\lim_{n→∞}a_nを求めよ.](./thumb/9/0/2011_7.png)
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数列$\{a_n\}$の一般項を
\[ a_n=\int_0^{n\pi} e^{-x} \sin x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき,以下の問いに答えよ.
(1) $\sin x=(-\cos x)^\prime$を用いた部分積分法により, \[ a_n=A_n-\int_0^{n\pi} e^{-x} \cos x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] となるときの$A_n$を求めよ.
(2) (1)で求めた$A_n$について,$\displaystyle a_n=\frac{A_n}{2}$が成り立つことを示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
(1) $\sin x=(-\cos x)^\prime$を用いた部分積分法により, \[ a_n=A_n-\int_0^{n\pi} e^{-x} \cos x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] となるときの$A_n$を求めよ.
(2) (1)で求めた$A_n$について,$\displaystyle a_n=\frac{A_n}{2}$が成り立つことを示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
類題(関連度順)
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