大阪大学
2013年 理系 第5問
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![nを3以上の整数とする.n個の球K_1,K_2,・・・,K_nとn個の空の箱H_1,H_2,・・・,H_nがある.以下のように,K_1,K_2,・・・,K_nの順番に,球を箱に1つずつ入れていく.\\まず,球K_1を箱H_1,H_2,・・・,H_nのどれか1つに無作為に入れる.次に,球K_2を,箱H_2が空ならば箱H_2に入れ,箱H_2が空でなければ残りのn-1個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる.\\一般に,i=2,3,・・・,nについて,球K_iを,箱H_iが空ならば箱H_iに入れ,箱H_iが空でなければ残りのn-i+1個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる.(1)K_nが入る箱はH_1またはH_nである.これを証明せよ.(2)K_{n-1}がH_{n-1}に入る確率を求めよ.](./thumb/504/1065/2013_5.png)
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$n$を3以上の整数とする.$n$個の球$K_1,\ K_2,\ \cdots,\ K_n$と$n$個の空の箱$H_1,\ H_2,\ \cdots,\ H_n$がある.以下のように,$K_1,\ K_2,\ \cdots,\ K_n$の順番に,球を箱に1つずつ入れていく. \\
まず,球$K_1$を箱$H_1,\ H_2,\ \cdots,\ H_n$のどれか1つに無作為に入れる.次に,球$K_2$を,箱$H_2$が空ならば箱$H_2$に入れ,箱$H_2$が空でなければ残りの$n-1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる. \\
一般に,$i=2,\ 3,\ \cdots,\ n$について,球$K_i$を,箱$H_i$が空ならば箱$H_i$に入れ,箱$H_i$が空でなければ残りの$n-i+1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる.
(1) $K_n$が入る箱は$H_1$または$H_n$である.これを証明せよ.
(2) $K_{n-1}$が$H_{n-1}$に入る確率を求めよ.
(1) $K_n$が入る箱は$H_1$または$H_n$である.これを証明せよ.
(2) $K_{n-1}$が$H_{n-1}$に入る確率を求めよ.
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