京都府立大学
2011年 生命環境(環境・情報) 第3問
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![nを5以上の整数とする.座標平面上に原点Oを中心とする半径nの円C_1と,点Aを中心とする半径1の円C_2がある.C_2がC_1に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき,C_2上の点Pが描く曲線を考える.はじめにAは(n+1,0),Pは(n,0)の位置にあるものとする.Pが(n,0)から出発し,再び(n,0)に戻るまで,Pが描く曲線をCとする.線分OAとx軸の正の部分のなす角がθ(0≦θ≦2π)であるときのPの座標を(x(θ),y(θ))とする.以下の問いに答えよ.(1)x(θ),y(θ)をθを用いて表せ.(2)区間0≦θ≦\frac{2π}{n}でx(θ)の増減を調べよ.(3)Cによって囲まれた部分の面積を求めよ.](./thumb/476/2692/2011_3.png)
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$n$を$5$以上の整数とする.座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円$C_1$と,点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある.$C_2$が$C_1$に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき,$C_2$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を考える.はじめに$\mathrm{A}$は$(n+1,\ 0)$,$\mathrm{P}$は$(n,\ 0)$の位置にあるものとする.$\mathrm{P}$が$(n,\ 0)$から出発し,再び$(n,\ 0)$に戻るまで,$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする.線分$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の部分のなす角が$\theta \ \ (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$であるときの$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ.
(2) 区間$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{n}$で$x(\theta)$の増減を調べよ.
(3) $C$によって囲まれた部分の面積を求めよ.
(1) $x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ.
(2) 区間$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{n}$で$x(\theta)$の増減を調べよ.
(3) $C$によって囲まれた部分の面積を求めよ.
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