すべての辺の長さが1の四角錐がある．この四角錐の頂点をO，底面を正方形ABCDとし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ．
(3) 点P，O，B，Cが正四面体の頂点となるようなすべての点Pについて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．