$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，線分$\mathrm{DE}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点を$\mathrm{X}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(2) 点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{DE}$上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DE}}$をみたす．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3) (2)で定まる点$\mathrm{P}$について，直線$\mathrm{OP}$と3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$の定める平面との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．