東京理科大学
2012年 工(建築・電気工) 第1問
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![次の問いに答えよ.(1)a,b,cを整数とするとき,以下の問いに答えなさい.(i)a+b+c=10,a≧1,b≧1,c≧1を満たす整数解a,b,cの組の総数は[ア][イ]である.(ii)a+b+c≦10,a≧1,b≧1,c≧1を満たす整数解a,b,cの組の総数は[ウ][エ][オ]である.(iii)a+b+c≦10,7≧a≧1,7≧b≧1,7≧c≧1を満たす整数解a,b,cの組の総数は[カ][キ][ク]である.(2)∠B=2∠Aを満たす△ABCについて,以下の問いに答えなさい.(i)式\frac{sinB+sinC}{sinA}がとりうる値の範囲は[ア]<\frac{sinB+sinC}{sinA}<[イ]である.(ii)AB=2,AC=3のとき,cosA=\frac{[ウ]+\sqrt{[エ][オ]}}{[カ]}であり,BC=-[キ]+\sqrt{[ク][ケ]}である.(3)座標平面上に,点A(0,2),B(4,0)および放物線C:y=-x^2+mx+1(ただし,mは実数の定数)がある.2点A(0,2),B(4,0)を通る直線をℓとする.(i)放物線Cと直線ℓが2個の異なる共有点をもつのは,m<-\frac{[ア]}{[イ]},m>\frac{[ウ]}{[エ]}のときである.以下,放物線Cと直線ℓが2個の異なる共有点をもつ場合について考え,この2個の共有点をP,Qとする.(ii)点Pと点Qのすくなくとも一方が線分AB(端点A,Bを含む)上にあるのはm>\frac{[オ]}{[カ]}のときである.(iii)点Pと点Qがともに,線分AB(端点A,Bを含む)上にあるのは\frac{[キ]}{[ク]}<m≦\frac{[ケ][コ]}{[サ]}のときである.また,mがこの範囲内で動くとき,線分PQの長さは,m=\frac{[シ][ス]}{[セ]}で最大値\frac{[ソ][タ]}{[チ]}×\sqrt{[ツ]}をとる.](./thumb/269/259/2012_1.png)
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次の問いに答えよ.
(1) $a,\ b,\ c$を整数とするとき,以下の問いに答えなさい.
(ⅰ) $a+b+c=10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$\fbox{ア}\fbox{イ}$である.
(ⅱ) $a+b+c \leqq 10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$\fbox{ウ}\fbox{エ}\fbox{オ}$である.
(ⅲ) $a+b+c \leqq 10,\ 7 \geqq a \geqq 1,\ 7 \geqq b \geqq 1,\ 7 \geqq c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$\fbox{カ}\fbox{キ}\fbox{ク}$である.
(2) $\angle \mathrm{B}=2 \angle \mathrm{A}$を満たす$\triangle \mathrm{ABC}$について,以下の問いに答えなさい.
(ⅰ) 式$\displaystyle \frac{\sin B+\sin C}{\sin A}$がとりうる値の範囲は \[ \fbox{ア}<\frac{\sin B+\sin C}{\sin A}<\fbox{イ} \] である.
(ⅱ) $\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AC}=3$のとき, \[ \cos A=\frac{\fbox{ウ}+\sqrt{\fbox{エ}\fbox{オ}}}{\fbox{カ}} \] であり, \[ \mathrm{BC}=-\fbox{キ}+\sqrt{\fbox{ク}\fbox{ケ}} \] である.
(3) 座標平面上に,点$\mathrm{A}(0,\ 2)$,$\mathrm{B}(4,\ 0)$および放物線$C:y=-x^2+mx+1$(ただし,$m$は実数の定数)がある.$2$点$\mathrm{A}(0,\ 2)$,$\mathrm{B}(4,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする.
(ⅰ) 放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつのは, \[ m<-\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\quad m>\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \] のときである.
以下,放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつ場合について考え,この$2$個の共有点を$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(ⅱ) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$のすくなくとも一方が線分$\mathrm{AB}$(端点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を含む)上にあるのは \[ m>\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \] のときである.
(ⅲ) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$がともに,線分$\mathrm{AB}$(端点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を含む)上にあるのは \[ \frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}<m \leqq \frac{\fbox{ケ}\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \] のときである.また,$m$がこの範囲内で動くとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さは,
$\displaystyle m=\frac{\fbox{シ}\fbox{ス}}{\fbox{セ}}$で最大値$\displaystyle \frac{\fbox{ソ}\fbox{タ}}{\fbox{チ}} \times \sqrt{\fbox{ツ}}$をとる.
(1) $a,\ b,\ c$を整数とするとき,以下の問いに答えなさい.
(ⅰ) $a+b+c=10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$\fbox{ア}\fbox{イ}$である.
(ⅱ) $a+b+c \leqq 10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$\fbox{ウ}\fbox{エ}\fbox{オ}$である.
(ⅲ) $a+b+c \leqq 10,\ 7 \geqq a \geqq 1,\ 7 \geqq b \geqq 1,\ 7 \geqq c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$\fbox{カ}\fbox{キ}\fbox{ク}$である.
(2) $\angle \mathrm{B}=2 \angle \mathrm{A}$を満たす$\triangle \mathrm{ABC}$について,以下の問いに答えなさい.
(ⅰ) 式$\displaystyle \frac{\sin B+\sin C}{\sin A}$がとりうる値の範囲は \[ \fbox{ア}<\frac{\sin B+\sin C}{\sin A}<\fbox{イ} \] である.
(ⅱ) $\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AC}=3$のとき, \[ \cos A=\frac{\fbox{ウ}+\sqrt{\fbox{エ}\fbox{オ}}}{\fbox{カ}} \] であり, \[ \mathrm{BC}=-\fbox{キ}+\sqrt{\fbox{ク}\fbox{ケ}} \] である.
(3) 座標平面上に,点$\mathrm{A}(0,\ 2)$,$\mathrm{B}(4,\ 0)$および放物線$C:y=-x^2+mx+1$(ただし,$m$は実数の定数)がある.$2$点$\mathrm{A}(0,\ 2)$,$\mathrm{B}(4,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする.
(ⅰ) 放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつのは, \[ m<-\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}},\quad m>\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \] のときである.
以下,放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつ場合について考え,この$2$個の共有点を$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(ⅱ) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$のすくなくとも一方が線分$\mathrm{AB}$(端点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を含む)上にあるのは \[ m>\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \] のときである.
(ⅲ) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$がともに,線分$\mathrm{AB}$(端点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を含む)上にあるのは \[ \frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}<m \leqq \frac{\fbox{ケ}\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \] のときである.また,$m$がこの範囲内で動くとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さは,
$\displaystyle m=\frac{\fbox{シ}\fbox{ス}}{\fbox{セ}}$で最大値$\displaystyle \frac{\fbox{ソ}\fbox{タ}}{\fbox{チ}} \times \sqrt{\fbox{ツ}}$をとる.
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