岐阜大学
2010年 理系 第5問
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![行列A=\biggl(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\biggr)に関する以下の問に答えよ.E=\biggl(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\biggr),O=\biggl(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\biggr)とおく.(1)A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=Oを証明せよ.(2)a,b,c,dが有理数のとき,A^3=5Eは成り立たないことを証明せよ.\sqrt[3]{5}は無理数であることを使ってよい.(3)a,b,c,dが実数のとき,A^6=-Eを満たすAのa+dとad-bcの組(a+d,ad-bc)をすべて求めよ.その各々の組に対し,それを与えるAの例を1つずつ記せ.](./thumb/385/2485/2010_5.png)
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行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$に関する以下の問に答えよ.$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$,$O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とおく.
(1) $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$を証明せよ.
(2) $a,\ b,\ c,\ d$が有理数のとき,$A^3=5E$は成り立たないことを証明せよ.$\sqrt[3]{5}$は無理数であることを使ってよい.
(3) $a,\ b,\ c,\ d$が実数のとき,$A^6=-E$を満たす$A$の$a+d$と$ad-bc$の組$(a+d,\ ad-bc)$をすべて求めよ.その各々の組に対し,それを与える$A$の例を1つずつ記せ.
(1) $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$を証明せよ.
(2) $a,\ b,\ c,\ d$が有理数のとき,$A^3=5E$は成り立たないことを証明せよ.$\sqrt[3]{5}$は無理数であることを使ってよい.
(3) $a,\ b,\ c,\ d$が実数のとき,$A^6=-E$を満たす$A$の$a+d$と$ad-bc$の組$(a+d,\ ad-bc)$をすべて求めよ.その各々の組に対し,それを与える$A$の例を1つずつ記せ.
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