愛媛大学
2016年 医学部 第3問
3
![z_0を虚数単位iと異なる複素数とする.複素数z_nをz_n=i+\frac{√2(z_{n-1}-i)(1+i)}{2}(n=1,2,3,・・・)によって定める.(1)すべての自然数nに対しz_n≠iであることを示せ.(2)\frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}の絶対値rと偏角θを求めよ.ただし,θの範囲は0≦θ<2πとする.(3)z_m=z_0となる最小の自然数mを求めよ.(4)複素数平面上においてz_nの表す点をP_nとする.(3)で求めたmに対しm本の線分P_0P_1,P_1P_2,・・・,P_{m-1}P_mで囲まれる図形の面積をSとする.z_0=1-iのときSの値を求めよ.](./thumb/669/2872/2016_3.png)
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$z_0$を虚数単位$i$と異なる複素数とする.複素数$z_n$を
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.
(1) すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ.
(2) $\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ.ただし,$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(3) $z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ.
(4) 複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする.$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\cdots$,$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする.$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ.
(1) すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ.
(2) $\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ.ただし,$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(3) $z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ.
(4) 複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする.$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\cdots$,$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする.$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ.
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