九州大学
2012年 理系 第2問
2
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$2$次の正方行列$A,\ B$はそれぞれ
\begin{eqnarray}
A \left( \begin{array}{r}
-3 \\
5
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
0 \\
-1
\end{array} \right), & & \quad A \left( \begin{array}{r}
7 \\
-9
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
8 \\
-11
\end{array} \right), \nonumber \\
B \left( \begin{array}{r}
0 \\
-1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
-5 \\
6
\end{array} \right), & & \quad B \left( \begin{array}{r}
8 \\
-11
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{r}
-7 \\
10
\end{array} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
をみたすものとする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列を表すものとする．
(1) 行列$A,\ B,\ A^2,\ B^2$を求めよ．
(2) $(AB)^3 = E$であることを示せ．
(3) 行列$A$から始めて，$B$と$A$を交互に右から掛けて得られる行列 \[ A,\ AB,\ ABA,\ ABAB,\ \cdots \] および行列$B$から始めて，$A$と$B$を交互に右から掛けて得られる行列 \[ B,\ BA,\ BAB,\ BABA,\ \cdots \] を考える．これらの行列の内で，相異なるものをすべて成分を用いて表せ．
(1) 行列$A,\ B,\ A^2,\ B^2$を求めよ．
(2) $(AB)^3 = E$であることを示せ．
(3) 行列$A$から始めて，$B$と$A$を交互に右から掛けて得られる行列 \[ A,\ AB,\ ABA,\ ABAB,\ \cdots \] および行列$B$から始めて，$A$と$B$を交互に右から掛けて得られる行列 \[ B,\ BA,\ BAB,\ BABA,\ \cdots \] を考える．これらの行列の内で，相異なるものをすべて成分を用いて表せ．
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