京都工芸繊維大学
2010年 工芸科学 第2問
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$n$は2以上の自然数とする．1つの袋と1つの箱がある．袋には白玉3個と赤玉2個が入っており，箱には何も入っていない．次の操作を考える．
袋から玉を1個取り出し，白玉なら袋に戻し，赤玉なら箱に入れる．
この操作を$n$回繰り返す．$n$回目の操作の後，箱に入っている赤玉の個数を$X$とする．
(1) $k$を$n$以下の自然数とする．$k$回目の操作では赤玉を取り出し$k$回目以外の$n-1$回の操作では白玉を取り出す確率を$n$と$k$を用いて表せ．次に，$X=1$である確率$p_n$を求めよ．
(2) $X=2$である確率$q_n$を求めよ．
(3) $X$の期待値$E_n$を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\log (2-E_n)$を求めよ．
袋から玉を1個取り出し，白玉なら袋に戻し，赤玉なら箱に入れる．
この操作を$n$回繰り返す．$n$回目の操作の後，箱に入っている赤玉の個数を$X$とする．
(1) $k$を$n$以下の自然数とする．$k$回目の操作では赤玉を取り出し$k$回目以外の$n-1$回の操作では白玉を取り出す確率を$n$と$k$を用いて表せ．次に，$X=1$である確率$p_n$を求めよ．
(2) $X=2$である確率$q_n$を求めよ．
(3) $X$の期待値$E_n$を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\log (2-E_n)$を求めよ．
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