弘前大学
2011年 理系 第6問
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![行列A=(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array})が次の条件を満たしているものとする.A(\begin{array}{c}1\\1\end{array})=(\begin{array}{c}\sqrt{1/2}\\\sqrt{3/2}\end{array})A(\begin{array}{c}-1\\1\end{array})=(\begin{array}{c}-\sqrt{3/2}\\\sqrt{1/2}\end{array})このとき,次の問いに答えよ.(1)AおよびA^2を求めよ.(2)Oを座標平面上の原点とし,Oと異なる点P(x_1,y_1)があり,他の2点Q(x_2,y_2),R(x_3,y_3)に対して次の関係があるとする.(\begin{array}{c}x_2\\y_2\end{array})=A^3(\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array})\qquad(\begin{array}{c}x_3\\y_3\end{array})=A^{-1}(\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array})このとき,三角形OQRが正三角形であることを証明せよ.(3)点P,Qは(2)と同じものとする.∠ OPQ の大きさを求めよ.](./thumb/37/2045/2011_6.png)
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行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が次の条件を満たしているものとする.
\[ A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
\sqrt{\frac{1}{2}} \\
\sqrt{\frac{3}{2}}
\end{array} \right) \quad A \left( \begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
-\sqrt{\frac{3}{2}} \\
\sqrt{\frac{1}{2}}
\end{array} \right) \]
このとき,次の問いに答えよ.
(1) $A$および$A^2$を求めよ.
(2) Oを座標平面上の原点とし,Oと異なる点P$(x_1,\ y_1)$があり,他の2点Q$(x_2,\ y_2)$,R$(x_3,\ y_3)$に対して次の関係があるとする. \[ \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right) = A^3 \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right) \qquad \left( \begin{array}{c} x_3 \\ y_3 \end{array} \right) = A^{-1} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right) \] このとき,三角形OQRが正三角形であることを証明せよ.
(3) 点P,Qは(2)と同じものとする.$\angle \text{OPQ}$の大きさを求めよ.
(1) $A$および$A^2$を求めよ.
(2) Oを座標平面上の原点とし,Oと異なる点P$(x_1,\ y_1)$があり,他の2点Q$(x_2,\ y_2)$,R$(x_3,\ y_3)$に対して次の関係があるとする. \[ \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right) = A^3 \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right) \qquad \left( \begin{array}{c} x_3 \\ y_3 \end{array} \right) = A^{-1} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right) \] このとき,三角形OQRが正三角形であることを証明せよ.
(3) 点P,Qは(2)と同じものとする.$\angle \text{OPQ}$の大きさを求めよ.
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