大阪市立大学
2016年 理系 第4問
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![nを正の整数とし,mを0以上10以下の整数とする.袋1から袋nまで,外見では区別のつかない袋がn袋ある.k=1,2,・・・,nについて,袋kの中には,赤球がk個,白球がn-k個入っているものとする.袋を1つ選んだ後,その選んだ袋について次の操作を10回繰り返して行うことにする.(操作)袋から球を1つ取り出し,色を確認してその袋に戻す.赤球をちょうどm回取り出す確率をP_{m,n}とするとき,次の問いに答えよ.(1)P_{m,n}を求めよ.(2)\lim_{n→∞}P_{10,n}を求めよ.(3)m=0,1,2,・・・,9について,\lim_{n→∞}P_{m,n}=\lim_{n→∞}P_{m+1,n}を示せ.](./thumb/506/1169/2016_4.png)
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$n$を正の整数とし,$m$を$0$以上$10$以下の整数とする.袋$1$から袋$n$まで,外見では区別のつかない袋が$n$袋ある.$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$について,袋$k$の中には,赤球が$k$個,白球が$n-k$個入っているものとする.袋を$1$つ選んだ後,その選んだ袋について次の操作を$10$回繰り返して行うことにする.
(操作) \ \ 袋から球を$1$つ取り出し,色を確認してその袋に戻す.
赤球をちょうど$m$回取り出す確率を$P_{m,n}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $P_{m,n}$を求めよ.
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} P_{10,n}$を求めよ.
(3) $m=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 9$について,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_{m,n}=\lim_{n \to \infty} P_{m+1,n}$を示せ.
(操作) \ \ 袋から球を$1$つ取り出し,色を確認してその袋に戻す.
赤球をちょうど$m$回取り出す確率を$P_{m,n}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $P_{m,n}$を求めよ.
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} P_{10,n}$を求めよ.
(3) $m=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 9$について,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_{m,n}=\lim_{n \to \infty} P_{m+1,n}$を示せ.
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