大阪市立大学
2016年 文系 第4問
4
4
$4$面体$\mathrm{OABC}$は,
\[ \begin{array}{lll}
\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=9, & \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=3, & \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=14, \phantom{\frac{1}{\fbox{}}} \\
\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1, & \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=3, & \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=5 \phantom{\frac{\fbox{}}{\fbox{}}}
\end{array} \]
を満たすものとする.また,直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}$を,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直になるようにとり,実数$m$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=m \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-m) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるように定める.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき,次の問いに答えよ.
(1) $m$の値を求めよ.
(2) $m<s<1$を満たす実数$s$に対し,辺$\mathrm{AB}$を$(1-s):s$に内分する点$\mathrm{P}$をとる.さらに,直線$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$を,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が垂直になるようにとり,実数$t$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t \overrightarrow{a}+(1-t) \overrightarrow{c}$となるように定める.$t$を$s$を用いて表せ.
(3) $(2)$の$t$に対し,$0<t<1$が成り立つことを示せ.
(1) $m$の値を求めよ.
(2) $m<s<1$を満たす実数$s$に対し,辺$\mathrm{AB}$を$(1-s):s$に内分する点$\mathrm{P}$をとる.さらに,直線$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$を,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が垂直になるようにとり,実数$t$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t \overrightarrow{a}+(1-t) \overrightarrow{c}$となるように定める.$t$を$s$を用いて表せ.
(3) $(2)$の$t$に対し,$0<t<1$が成り立つことを示せ.
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