宮城教育大学
2011年 教育学部(中等数学) 第1問
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![四面体OABCと点Pについて,6ベクトルOP+3ベクトルAP+2ベクトルBP+4ベクトルCP=ベクトル0が成り立っている.ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとするとき,次の問いに答えよ.(1)3点A,B,Cを通る平面と直線OPとの交点をQとするとき,ベクトルOQをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(2)直線AQと辺BCとの交点をRとするとき,四面体OABCの体積Vに対する四面体PABRの体積Wの比W/Vを求めよ.](./thumb/53/0/2011_1.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$と点$\mathrm{P}$について,
\[ 6 \overrightarrow{\mathrm{OP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立っている.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) 3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 直線$\mathrm{AQ}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき,四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$に対する四面体$\mathrm{PABR}$の体積$W$の比$\displaystyle \frac{W}{V}$を求めよ.
(1) 3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 直線$\mathrm{AQ}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき,四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$に対する四面体$\mathrm{PABR}$の体積$W$の比$\displaystyle \frac{W}{V}$を求めよ.
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