北九州市立大学
2014年 国際環境工 第4問
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$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(-2,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(2,\ -2,\ 4)$がある．以下の問いに答えよ．
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$を求めよ．また，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき$\cos \theta$の値を求めよ．
(2) $3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とし，$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に引いた垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$s+t+u=1$とする．このときの$\mathrm{H}$の座標を$s,\ t,\ u$を用いて表せ．
(3) $\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(4) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$を求めよ．また，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき$\cos \theta$の値を求めよ．
(2) $3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とし，$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に引いた垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$s+t+u=1$とする．このときの$\mathrm{H}$の座標を$s,\ t,\ u$を用いて表せ．
(3) $\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(4) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
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