愛知県立大学
2013年 理系 第3問
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$a$を$a>2$を満たす実数とし,
\[ f(t)=\frac{\sin^2 at+t^2}{at \sin at},\quad g(t)=\frac{\sin^2 at-t^2}{at \sin at} \quad \left( 0<|t|<\frac{\pi}{2a} \right) \]
とする.また,$C$を曲線$\displaystyle x^2-y^2=\frac{4}{a^2} \ \ \left( x \geqq \frac{2}{a} \right)$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 点$(f(t),\ g(t))$は,曲線$C$上の点であることを示せ.
(2) 点$\displaystyle \left( \lim_{t \to 0}f(t),\ \lim_{t \to 0}g(t) \right)$における曲線$C$の法線の方程式を求めよ.
(3) 曲線$C$と(2)で求めた法線および$x$軸とで囲まれた部分を,$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を$V(a)$とする.$V(a)$を$a$を用いて表せ.また,$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ.
(1) 点$(f(t),\ g(t))$は,曲線$C$上の点であることを示せ.
(2) 点$\displaystyle \left( \lim_{t \to 0}f(t),\ \lim_{t \to 0}g(t) \right)$における曲線$C$の法線の方程式を求めよ.
(3) 曲線$C$と(2)で求めた法線および$x$軸とで囲まれた部分を,$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を$V(a)$とする.$V(a)$を$a$を用いて表せ.また,$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ.
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