秋田大学
2014年 医学部 第2問
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$0$以上の整数$n$に対して,
\[ g_n(x)=e^{-n}(x-n)(n+1-x) \]
とおく.次の問いに答えよ.
(1) $n \leqq x \leqq n+1$において,曲線$y=g_n(x)$上の点$(\alpha,\ g_n(\alpha))$における接線の傾きが$-g_n(\alpha)$となる$\alpha$を求めよ.
(2) $f(x)=ce^{-x} \ \ (c>0)$とおく.曲線$y=f(x)$が曲線$y=g_n(x)$と共有点をもち,その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するような$c$を求めよ.
(3) 曲線$y=g_n(x)$と$(2)$で求めた曲線$y=f(x)$の共有点を$\mathrm{P}_n$とし,点$\mathrm{P}_n$における$y=f(x)$の接線を$\ell_n$とする.また,$\ell_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}_n$とする.曲線$y=f(x)$と接線$\ell_n$,および点$\mathrm{Q}_n$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_n$とする.$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (S_0+S_1+\cdots +S_n)$を求めよ.
(1) $n \leqq x \leqq n+1$において,曲線$y=g_n(x)$上の点$(\alpha,\ g_n(\alpha))$における接線の傾きが$-g_n(\alpha)$となる$\alpha$を求めよ.
(2) $f(x)=ce^{-x} \ \ (c>0)$とおく.曲線$y=f(x)$が曲線$y=g_n(x)$と共有点をもち,その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するような$c$を求めよ.
(3) 曲線$y=g_n(x)$と$(2)$で求めた曲線$y=f(x)$の共有点を$\mathrm{P}_n$とし,点$\mathrm{P}_n$における$y=f(x)$の接線を$\ell_n$とする.また,$\ell_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}_n$とする.曲線$y=f(x)$と接線$\ell_n$,および点$\mathrm{Q}_n$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_n$とする.$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (S_0+S_1+\cdots +S_n)$を求めよ.
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